Herzlich willkommen zur ersten Videoaufnahme unserer Vorlesung. Wir beschäftigen uns heute mit

der Eigenwerttheorie. In dieser ersten Vorlesung schauen wir uns den ersten großen Block des Kurses

an, der sich mit der linearen Algebra beschäftigt. Und als erstes Kapitel, das Sie auch im Skript

finden, beschäftigen wir uns mit der Eigenwerttheorie für lineare Operatoren. Bevor wir jetzt direkt in

die Mathematik einsteigen, möchte ich zuallererst in diesem ersten Video motivieren, warum wir uns

überhaupt für Eigenwerte interessieren, wo diese natürliche Anwendung finden und warum sie überhaupt

spannend sind zu untersuchen. Und dann noch ein paar grundlegende mathematische Eigenschaften in

Erinnerung rufen, die Sie hoffentlich alle noch aus der letzten Vorlesung im Wintersemester kennen,

da wir diese häufig brauchen werden in den Sätzen und Lämmers, die wir beweisen. Darum macht es Sinn,

die einfach nochmal sich anzuschauen. Wir beginnen also zuerst unsere Vorlesung mit einer Motivation

zur Eigenwerttheorie. Das heißt, das Kapitel, das nun folgt, wird sich erst einmal mit der

Motivation von Eigenwerten beschäftigen und ich möchte Ihnen erklären, warum Eigenwerte und

Eigenvektoren solch eine zentrale Rolle spielen, gerade in der linearen Algebra. Denn wie sich

herausstellen wird und wie wir hoffentlich in den nächsten Wochen erkennen werden, sind Eigenwerte

und Eigenvektoren eine wesentliche Eigenschaft lineare Abbildungen, die der Charakterisierung

dieser Operatoren dienen und auch beschreiben, wie sie sich mathematisch verhalten. Das heißt,

wir können uns irgendwie einen Eigenwert vorstellen, wie eine Charakteristik eines linearen Operators

und wenn wir alle Eigenwerte eines linearen Operators kennen, dann haben wir schon ein

recht gutes Bild davon, wie dieser Operator wirkt und welches die grundlegenden Eigenschaften sind.

Sie haben ja im letzten Semester auch schon andere Eigenschaften lineare Operatoren kennengelernt,

wie zum Beispiel den Rang oder im Fall von quadratischen Matrizen die Determinante und

Eigenwerte sind nun eine weiterführende Charakteristik, die uns noch mehr Informationen

liefern. Anschaulich ausgedrückt geometrisch können wir sagen, ein Eigenvektor eines

linearen Operators, ich versuche den mal hier zu zeichnen, wir hätten hier einen Eigenvektor,

den möchte ich mit V bezeichnen. Dieser Eigenvektor wird Eigenvektor genannt, wenn ich einen

linearen Operator F darauf anwenden kann und sich die Richtung dieses Vektors dadurch nicht

ändert. Das heißt, wenn ich jetzt einen neuen Vektor erhalte durch Anwendung von F, der exakt

in dieselbe Richtung zeigt, eventuell gespiegelt, aber sozusagen bis auf ein Skalaris in dieselbe

Richtung, dann nenne ich V einen Eigenvektor des linearen Operators F. So viel zur geometrischen

Anschauung. Wir werden nachher mathematisch formell definieren, was ein Eigenvektor ist,

nur können Sie vielleicht dieses Bild schon mal im Hinterkopf behalten. Das heißt, ein Eigenvektor

wird höchstens mit einem Faktor skaliert, das heißt verlängert oder verkürzt, wenn ich die

lineare Abbildung darauf anwende, aber er ändert nie seine Richtung. Genau, jetzt vielleicht mal zur

Anwendungssicht. Was sind denn spannende Anwendungen von Eigenvektoren gerade im Bereich Physik oder

Data Science? Wollen wir mal ein paar Anwendungsfälle diskutieren. Da fällt mir zuallererst ein,

das ist jetzt eher eine mathematische Anwendung, aber ein Eigenwert gibt uns zum Beispiel schon

sehr viel Auskunft darüber, ob ein lineares Gleichungssystem der Form Ax gleich B löst

bei, wobei A, nehmen wir an, ist eine quadratische Matrix über einen Körper und die Eigenwerttheorie

wird uns helfen zu entscheiden, ob dieses lineare Gleichungssystem überhaupt löstbar ist. Das heißt,

wir können dann Aussagen treffen, wie ist genau dann lösbar, wenn alle Eigenwerte ungleich 0 sind.

Ich nenne die mal lambda i, dann später sehen warum. Alle Eigenwerte sollen ganz wichtig hier

ungleich 0 sein. Da hilft uns mathematisch schon der Begriff des Eigenwerts und ähnlich zur

Determinante können wir darüber dann Aussagen treffen zu linearen Gleichungssystem. Jetzt kann

man das Ganze ein bisschen weiter denken. Wir kommen zu einem Feld, das sich inverse Probleme

nennt, auch eine spannende Forschungsrichtung innerhalb der Mathematik und viele inverse Probleme,

gerade die linearen, lassen sich auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems zurückführen.

Das heißt, auch hier fragen wir uns, was ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax

gleich b, wobei b eine beobachtete Größe ist. Die Ursache dieser Beobachtung ist unser unbekanntes

x, das wir gerne herausbekommen möchten in diesem inversen Problem. Das heißt,

das hier ist die unbekannte Ursache und wir haben eine generelle Modellvorstellung dieses Operators a,